Il était une fois...la numération. Partie II : les systèmes de numération

Publié par Jacques Bourgois, le 7 février 2022   270

 La partie I de ce dossier a été consacrée à présenter les origines des nombres. Après l’invention des ‘chiffres’ et de l’écriture par les Sumériens, il a fallu écrire les nombres sur des papyrus, des parchemins ou des tablettes d’argile. Mais comment faire ? Selon quels principes ? Trois grands systèmes de numération ont vu le jour, en des lieux et à des dates différentes, créés par chaque civilisation de l’époque : additionnel, positionnel, hybride.

 La numération désigne le mode de représentation des nombres. Après une représentation matérielle avec les calculi, la représentation devient abstraite avec des chiffres vers 3000 av.J.C.

Une numération se caractérise de différentes manières :

  • par le type de nombre représenté : cardinal (quantité : 25 voitures) ou ordinal (rang : je suis arrivé 1er)
  • par la base utilisée : 2, 4, 8, 10, 12, 20 ,60, ….
  • par le type de ‘chiffres’ utilisés : lettres, hiéroglyphes, symboles
  • par le mode d’utilisation des ‘chiffres’ : numération additive, positionnelle, hybride

 Classification des systèmes de numération : différents systèmes de numération ont été inventés, en des lieux et à des dates différentes, par chaque civilisation pour écrire les nombres (ces systèmes seront détaillés dans les prochains articles de la série) dans un but d’efficacité et de simplicité.

Système additionnel : ce type de numération a été le premier système à être utilisé. C’est vers -3000 avant J.C. que les Egyptiens représentèrent les nombres à l’aide de symboles (hiéroglyphes) tant sur des temples que sur des papyrus. Puis la Grèce antique et l’Empire romain utilisèrent ce même système avec des symboles différents.

Ce système fonctionnait selon le principe de l’addition, en effet pour obtenir le nombre il suffit d’additionner les valeurs des symboles représentés. Il n’était pas nécessaire de connaître le zéro pour l’utiliser.

Un exemple fictif est représenté ci-dessous :

Pour écrire un nombre, il suffit de représenter autant de fois que nécessaire le symbole correspondant aux unités, dizaines, centaines, … (8 est représenté par la répétition de 8 fois l’unité [A], 25 est représenté par 2 symboles représentant la dizaine [B] et 5 symboles représentant l’unité [A]).

346529 s’écrit alors : FFFEEEEDDDDDDCCCCCBBAAAAAAAAA

Selon les civilisations, le nombre peut être écrit indifféremment de gauche à droite, de droite à gauche ou quelquefois et pour des raisons esthétiques en mélangeant les symboles.

L’avantage de cette méthode est sa simplicité de lecture mais son désavantage apparait lorsqu’il faut représenter des nombres nécessitant une répétition élevée de symboles (pour représenter 999, il faut 27 symboles ! : CCCCCCCCCBBBBBBBBBAAAAAAAAA

Note : nous utilisons encore ce système avec les nombres romains : 2022 = MMXXII. Le même inconvénient que celui cité ci-dessus existe pour les grands nombres : qui n’a pas dû réfléchir pour déchiffrer une date écrite sur un monument à l’aide des chiffres romains ? :

Ex. : MDCCCLXXXVIII = 1888

Cependant, ce système, même imparfait, a été longtemps utilisé et il a fallu attendre de nombreux siècles pour que l’Occident utilise les chiffres indo-arabes et un système de numération positionnel (XVème siècle).

Système positionnel : ce système est apparu vers 1800 avant J.C. à Babylone pour se développer dans de nombreux pays jusqu’à aboutir au système international indo-arabe que nous connaissons tous aujourd'hui. Le dernier système de ce type, utilisant la base 4, a été créé en 1968 pour la série télévisée ‘Les Shadoks’. Cette numérisation associe certaines valeurs aux chiffres en fonction de leur position dans le nombre.

Exemple : 555 : le 5 de gauche occupe la place des centaines, il vaut 10 fois plus que le 5 du centre occupant la place des dizaines, le 5 de droite occupe la place des unités.

Le nombre précédent est écrit en base 10, mais le système de numération positionnel peut être utilisé quelle que soit la base utilisée (numération babylonienne : base 60, numération maya : base 20, numération Shadok : base 4) et a pour principal avantage de n’utiliser qu’un nombre limité de symboles : 2 puis 3 dans la numération babylonienne, 3 dans la numération maya, 10 dans la numération indo-arabe. Par contre, le principal inconvénient est qu’il est nécessaire d’utiliser un symbole signifiant ‘le vide’ ou ‘rien’ (notre 0 en numération indo-arabe) faute de quoi 11 serait identique à 110 ou 101 ou encore 1100. Nous verrons dans une prochaine partie que c’est l’acceptation du ‘zéro’ qui a tant retardé l’utilisation de la numération indo-arabe en Occident.

Selon les civilisations, les nombres sont écrits de gauche à droite (système indo-arabe ou babylonien) ou verticalement (système maya).

Système hybride : ce type de numérisation fonctionne en combinant des additions et des multiplications, Il est apparu en Chine et au Japon vers 1300 av.J.C.. Les nombres sont représentés comme une addition de multiples de puissance de la base. Dans ce système existaient des symboles pour les chiffres et d’autres pour les puissances de dix (base utilisée) selon le principe de position. Il a été développé en Asie à partir de la seconde moitié du deuxième millénaire avant Jésus-Christ.

Exemple : 825 est représenté par 810021051 ce qui équivaut à 8 fois 100 + 2 fois 10 + 5 fois 1

Notons que notre numération positionnelle orale est du type hybride : 2123 s’énonce deux-mille-cent-vingt-trois soit 2x1000 + 1x100 + 2x10 + 3

Représentation du nombre 2022 dans différents systèmes de numération :

L’écriture de ces nombres sera explicitée dans les prochaines parties de ce dossier.

Remerciements : L'auteur remercie Aourell LANFREY (médiatrice scientifique, La Rotonde, Ecole des Mines de Saint-Etienne) de sa participation à l'élaboration de cet article.

Des chiffres aux nombres (maths-et-tiques.fr)

Microsoft Word - PESUhistoirev2 (educmat.fr)

Histoire de la numération (lycee-corot-morestel.fr)

7_brochure_historiques.pdf (ac-creteil.fr)

Shadock - CalculAntique (legtux.org)